Самое простое число

Поиском простых чисел математики занимаются уже более двух тысячелетий. Фото Fotolia/PhotoXPress.ru

В конце января американский журнал New Scientist сообщил, что математик Кертис Купер из Центрального университета Миссури в городе Уорренсберг открыл новое наибольшее из известных науке простое число. Оно равно 274207281-1 и содержит 22 338 618 цифр! Итак, простые числа…

Выдающийся немецкий математик Леопольд Кронекер (1823–1891) изрек однажды фразу, ставшую классическим афоризмом: «Натуральные числа создал Господь Бог. Все остальное – дело рук человеческих». Натуральные числа – это 1, 2, 3, 4… До бесконечности. И даже к бесконечности всегда можно прибавить еще одну единицу. Но и в этом ряду натуральных чисел встречаются свои суперзвезды. Прежде всего – простые числа.

Простым называется число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Других делителей без остатка оно не имеет.

Специалисты, занимающиеся простыми числами, считают их как бы атомами чисел. Дело в том, что из этих «кирпичиков» построены все остальные числа: их можно получить как комбинации простых чисел. Именно поэтому все остальные числа натурального ряда, кроме простых, называются составными.

Еще древнегреческий математик Евклид 2300 лет назад доказал, что перечень простых чисел бесконечен. Это доказательство считается классическим в математике. Вот только чем дальше продвигаешься по натуральному ряду, тем все меньше и меньше этих простых чисел. Так, если между 0 и 100 находятся 25 простых чисел, то между 10 000 000 и 10 000 100 – только два простых числа.

И вот – сообщение об открытии самого большого на сегодняшний день простого числа. Причем это не простое простое число, а так называемое простое число Мерсенна.

Числа Мерсенна выражаются в форме 2P-1, где P – простое число. Первые числа Мерсенна – 3, 7, 31, 127. К началу XXI века известно было лишь 39 таких чисел. Сейчас известно 49 простых чисел Мерсенна. Вообще при помощи этого алгоритма обнаружено 15 последних и самых больших простых чисел.

Кертис Купер совершил свое открытие в рамках международного проекта GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Он, как и известный проект по поиску внеземного разума SETI, построен на разделении труда между подключенными к Интернету персональными компьютерами. Своеобразный распределенный виртуальный вычислитель.

Изучением чисел Мерсенна математики занимаются уже несколько сот лет. Человек, в честь которого они названы, французский монах Марен Мерсенн (1588–1648) в свое время предсказал, какими могут быть значения показателя степени P. Его предсказания удалось доказать только 300 лет спустя. Как видим, после подключения к поиску простых чисел компьютеров дело пошло гораздо веселее!

350 год до н.э. Евклид открыл простые числа.

220 год до н.э. Древнегреческий ученый Эратосфен предложил один из путей определения простых чисел.

2001 год. Канадский студент Майкл Камерон, проведя 45 дней в наблюдении за непрерывной работой своего персонального компьютера с 800-мегагерцевым процессором, открыл число Мерсенна, в котором было 4 053 946 знаков. Если кому-то захочется записать это число на бумаге, то на это уйдет три недели. А вот на поиск самого простого числа ушло два года.

2008 год. Математики Калифорнийского университета Лос-Анджелеса вычислили 45-е простое число Мерсенна, в нем было 12 978 189 знаков. В этом же году группа исследователей из Кельнского университета (ФРГ) обнаружила еще одно число Мерсенна (46-е по времени открытия), которое, однако, оказалось меньше числа, найденного в США.

2013 год. Уже известный нам Кертис Купер при помощи GIMPS нашел простое число Мерсенна, которое было равно 257885161-1 и содержало более 17 млн цифр.

Поиск простых чисел приобретает, похоже, характер психологической зависимости. Гонка продолжается, причем темп ее, судя по всему, возрастает по экспоненте…

Кстати, теория простых чисел – одна из областей чистой математики, которые нашли приложение и в практической деятельности людей, например в криптографии.

В 1977 году математики из Массачусетского технологического института показали, что простые числа – идеальная база для создания шифровального ключа. Достаточно взять два больших (например, из 80 знаков) простых числа и перемножить. Получим, естественно, еще большее, но уже составное число. Все, что требуется для кодирования посланий – знать это большое число. А вот для декодировки, «вероятному противнику» понадобится разложить составное число на два простых сомножителя. Даже с использованием самых мощных на сегодняшний день компьютеров, на это потребуется несколько лет.

Так что простые числа – это ключ к разрешению не только многих математических проблем. Не случайно они интересуют не только математиков, но и военных, разведку и контрразведку.