Актуальная бесконечность – это совсем рядом

Специалисты, занимающиеся простыми числами, считают их как бы атомами чисел. Дело в том, что из этих "кирпичиков" построены все остальные числа: их можно получить как комбинации простых чисел.
Источник: numbers-westga.edu

Выдающийся немецкий математик Леопольд Кронекер (1823–1891) однажды заметил: «Натуральные числа создал Господь Бог. Все остальное – дело рук человеческих». Натуральные числа – это 1, 2, 3, 4┘ До бесконечности. И даже к бесконечности всегда можно прибавить еще одну единицу. Но и в этом ряду натуральных чисел встречаются свои суперзвезды. Прежде всего – простые числа.

Простым называется число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. Других делителей без остатка оно не имеет.

Специалисты, занимающиеся простыми числами, считают их как бы атомами чисел. Дело в том, что из этих «кирпичиков» построены все остальные числа: их можно получить как комбинации простых чисел. Именно поэтому все остальные числа натурального ряда, кроме простых, называются составными.

Еще Евклид доказал, что перечень простых чисел бесконечен. Это доказательство считается классическим в математике. Вот только чем дальше продвигаешься по натуральному ряду, тем все меньше и меньше будешь встречать простые числа. Так, если между 0 и 100 находятся 25 простых чисел, то между 10 000 000 и 10 000 100 – только 2 простых числа. Поиск простых чисел – и подтверждение их «простоты»! – в последнее время превратился не просто в очень интересную прикладную задачку, но приобрел черты самой настоящей мании, психологической зависимости. Мания простых чисел!

Агентство Fox News сообщает, что подтвердилось открытие самого большого известного простого числа. Математики Калифорнийского университета Лос-Анджелеса «вычислили» простое число с 13 млн. знаков! А если уж быть точным, в нем – 12 978 189 знаков.

Новое число относится к так называемым числам Мерсенна, имеющим вид 2p – 1, где p – простое число. Для нового числа p = 43 112 609. Открытое число стало 45-м известным числом Мерсенна. Интересен метод, с помощью которого удалось обнаружить этот шедевр теории чисел.

Поисками занимался своеобразный распределенный виртуальный вычислитель – 75 компьютеров, работающих под Windows XP. Само число было обнаружено 23 августа, но потребовалось почти два месяца проверок несколькими независимыми компьютерными системами с использованием различных алгоритмов. Курирует этот проект специальная организация GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), которая через интернет объединяет вычислительные мощности персональных компьютеров по всему миру для поиска и верификации простых чисел Мерсенна. Кстати, это уже восьмое число Мерсенна, открытое в центре распределенных вычислений Калифорнийского университета Лос-Анджелеса.

Но я недаром упомянул о том, что поиск простых чисел приобретает характер психологической зависимости на почве сугубо спортивной состязательности. Так, еще в начале сентября нынешнего года группа исследователей из Кельнского университета в Германии открыла еще одно число Мерсенна (46-е по времени открытия), которое, однако, оказалось меньше числа, найденного сейчас в США. Гонка продолжается, причем темп ее, судя по всему, возрастает по экспоненте┘

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегреческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры. Он предложил один из путей определения простых чисел. С тех пор математики постепенно – ну очень постепенно! – продвигались в деле проверки делимости огромных чисел. С компьютерами дело пошло куда как веселее┘

В 2002 году сообщалось, что трое математиков-программистов индийского Института технологии в городе Канпур разработали метод, позволяющий безошибочно и быстро определять, простым или составным является то или иное число. «Мы решили проблему, которая «не давалась» исследователям в течение более чем 2 тысячи 200 лет», – гордо заявляли индийцы. Технических подробностей метода в широкой печати не сообщалось, но судя по дальнейшим событиям, не все так радужно оказалось, как поначалу казалось.

В том же 2002 году канадский студент Майкл Камерон, проведя 45 дней в наблюдении за непрерывной работой своего персонального компьютера с 800-мегагерцевым процессором, открыл число Мерсенна, в котором было 4 053 946 знаков. Уже тогда комментаторы отмечали, что если кому-то захочется записать это число на бумаге, то на это уйдет три недели.

Математики постоянно предлагают все новые и новые алгоритмы поиска простых чисел. Источник: uofaweb.ualberta.ca

Между прочим, успех Майкла Камерона тоже не обошелся без участия GIMPS. Информационное агентство Би-би-си приводило слова основателя программы GIMPS Джорджа Волтмана: «Открытие Майкла Камерона – это самое интересное из того, чего нам удалось достичь. На работу над новым числом ушло два года, и теперь нам остается лишь поблагодарить всех участников проекта, а это – 130 тысяч пользователей по всему миру».

Действительно, поблагодарить есть за что. Ведь проблема быстрого определения простых чисел, по признанию специалистов, – чуть ли не важнейшая в деле улучшения современной компьютерной техники. Но не только.

Теория простых чисел – это одна из тех областей чистой математики, которые нашли приложение в практической деятельности людей, например в криптографии. Отсюда, кстати, такой интерес к ней со стороны военных и разведчиков во всем мире.

В 1977 году математики из Массачусетского технологического института показали, что простые числа – идеальная база для создания шифровального ключа. Достаточно взять два больших (например, из 80 знаков) простых числа и перемножить. Получим, естественно, еще большее, но уже составное число. Все, что требуется для кодирования посланий, – знать это большое число. А вот для декодировки «вероятному противнику» понадобится разложить составное число на два простых сомножителя. Даже используя самые мощные на сегодняшний день компьютеры, на это понадобится несколько лет. (Не зря ведь в проекте по поиску самого большого простого числа Мерсенна участвовало 130 тыс. человек, и трудились они два года!)

Ну а американские математики из Калифорнийского университета Лос-Анджелеса за свое открытие получат денежную премию 100 тыс. долл., назначенную за обнаружение чисел Мерсенна с количеством знаков свыше 10 млн. И это радует: чистая математика помимо развития мозгов становится вполне прибыльным занятием.