Затопление энной степени

Самое масштабное и разрушительное за последние сто лет наводнение на Северном Кавказе потрясло Россию. Общая площадь затопления составила 346,5 квадратных километра, были эвакуированы 101 911 человек, погибли 104 человека. Материальный ущерб от стихийного бедствия - почти 14 млрд. рублей. Версий случившегося много...

Гидрологи предполагают, что эта катастрофа представляет собой "следствие необычного сочетания гидрометеорологических факторов и условий на водосборе". Но если бы это было так и наводнение определялось как суммарное действие множества не поддающихся учету факторов (количество дождей, их интенсивность, насыщенность почвы водой, тепло- и влагообмена атмосферы с подстилающей поверхностью и т.д.), то, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, распределение плотностей вероятностей максимального уровня (расхода) воды в реке подчинялось бы гауссовскому или гамма-распределению. Тогда действительно вероятность катастрофического наводнения на Северном Кавказе, которое произошло этим летом, была бы ничтожно мала, и можно было бы считать, что нам сильно не повезло.

Однако я утверждаю, что вероятности катастрофических наводнений гораздо выше, чем это принято считать.

При внимательном анализе статистических данных по крупнейшим наводнениям выясняется, что они проявляют весьма необычные особенности. Так, при наводнении 1931 г. на реке Янцзы в Китае погибли около 1,3 млн. человек. Экстраординарные значения наблюдаются и для стоимостных характеристик материального ущерба. Ущерб от этих экстремальных наводнений сравним с суммарным ущербом от всех катастрофических наводнений за тот же период времени. Не составляет исключения и наводнение на Северном Кавказе.

Математически доказано, что временной ряд, обладающий указанным свойством (сумма членов ряда имеет тот же порядок, что и максимальный член ряда), должен подчиняться так называемому распределению Парето, который характеризуется медленным уменьшением числа редких событий (степенному распределению с "тяжелым хвостом"). Действительно, суммарная гистограмма хвоста распределения числа бездомных из-за наводнений 1964-1991 гг. хорошо описывается этим распределением. С точки зрения степенного распределения вероятности катастрофических наводнений на порядок и больше превышают вероятности, вычисленные из распределения Гаусса.

Гидрология пока не способна объяснить физический механизм возникновения распределения Парето и тем самым ответить на вопрос: почему катастрофические наводнения происходят так часто? Мною предложена простая феноменологическая динамическая модель колебаний стока, учитывающая водный баланс речного бассейна и нелинейную зависимость стока от влагозапасов.

Физический механизм сильного увеличения стока с ростом влагозапасов заключается в следующем. Во-первых, чем больше объем поверхностных, почвенных, подземных вод, составляющих влагозапасы бассейна, тем выше потенциальная энергия этих вод. Во-вторых, в соответствии с законом движения вязкой жидкости величина рассеивания (диссипации) энергии при течении воды в увлажненном бассейне гораздо меньше, чем в "сухом". Таким образом, увеличение потенциальной энергии воды и уменьшение сопротивления ее движению в бассейне реки ведут к нелинейному увеличению расхода. В результате - разрушительный, все сокрушающий на своем пути поток воды.

Допустим, что в бассейне реки выпали обильные дождевые осадки; в этом случае сопротивление движению воды настолько уменьшится, что в русло реки попадут не только выпавшие осадки, но и осадки от предыдущих дождей, которые ранее из-за большого сопротивления трения не могли попасть в реку. Математическая формализация этого известного гидрологического явления и приводит к степенным (а не гауссовским) законам паводков и наводнений. На основе этого физического механизма предложено конкретное степенное распределение (более физическое, чем распределение Парето) максимальных расходов и уровней воды, которое указывает на достаточно большую вероятность катастрофических наводнений.

Этим летом на реках Северного Кавказа (на Кубани, Тереке, Куме, Подкумке и т.д.) наблюдался аномальный гидрологический режим. Расчеты, выполненные на основе нового степенного распределения плотности вероятности максимальных расходов воды, показали, например, максимальный расход воды на реке Кубань может превысить среднемноголетний в 2,5 раза один раз в 170 лет по степенному распределению (соответственно 1 раз в 1000 лет по гамма-распределению). Река Терек может превысить свой обычный расход в 2 раза один раз в 110 лет по степенному закону (1 раз в 406 лет по гамма-распределению). Для реки Кума расход воды, превышающий норму в 5 раз, может произойти один раз в 85 лет по степенному закону (1 раз в 28 012 лет по гамма-распределению). Для реки Подкумок расход воды, превышающий норму в 4 раза, может случиться 1 раз в 102 года по нашим расчетам и 1 раз в 8805 лет по гамма-распределению. Аналогичные оценки верны и для других больших и малых рек Северного Кавказа.

Другими словами, произошедшее катастрофическое наводнение на Северном Кавказе не является почти невероятным событием, а имеет большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения. Очевидно, что эту вероятность необходимо учитывать при сооружении защитных дамб, плотин и других гидротехнических сооружений.

Расчет вероятности катастрофических наводнений на реках других регионов привел к тем же результатам. Например, знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге, произошедшее 19 ноября 1824 г. (уровень воды в Неве - 421 см), должно происходить один раз в 667 лет с точки зрения степенного распределения. По гамма-распределению это событие практически невозможно (один раз в 22 222 лет). Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 г. (уровень воды в Неве - 380 см), имеет вероятность 0,0039 (один раз в 256 лет) по степенному распределению и 0,00036 (один раз в 2777 лет) по гамма-распределению, то есть снова практически невозможно. Однако эти события происходили.

Как проверить, верна ли предложенная теория? Необходимо применить ее к хорошо изученным явлениям. В связи с гидрологическим обоснованием ряда проектов по защите Санкт-Петербурга и ближайших пригородов от наводнений были проведены обширные научные исследования по проблеме расчета максимальных уровней воды на реке Нева. Были построены и тщательно проверены гидродинамические модели петербургских наводнений. Нами проведено сравнение результатов этих исследований с расчетами по статистическим моделям. Это сравнение показывает, что степенное распределение хорошо соответствует гидродинамическим моделям.

Таким образом, степенная статистика указывает на то, что катастрофические наводнения, происходящие на нашей планете, не являются из ряда вон выходящими событиями, а имеют достаточно большую вероятность, и с этой вероятностью необходимо считаться.

По моему мнению, торг здесь неуместен. Например, в Нидерландах к началу 1920-х годов правительственный комитет по защите от наводнений установил максимальный уровень 390 см, возможный 1 раз в 17 500 лет. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие и приняли величину 340 см с вероятностью 1 раз в 70 лет. Это значение было всего на 12 см выше абсолютного максимума, наблюдавшегося на побережье Нидерландов, примерно за 25 лет. Стремление удешевить строительство обернулось трагедией "голландского" урагана 1 февраля 1953 г., унесшего около двух тысяч жизней и вызвавшего огромные разрушения. Ныне в Нидерландах гидротехнические сооружения должны быть ориентированы на максимальный уровень 500 см, возможный 1 раз в 10 000 лет.