От квадратуры голова идет кругом

Проверка точности записи десятичных знаков «пи» – задача сама по себе нетривиальная. Фото Pxhere

Имея заданный круг, построить квадрат той же площади – это и есть задача о квадратуре круга. Или еще проще: определить сторону квадрата, площадь которого точно равна площади заданного круга. На решение этой задачки ушло более 2000 лет. Впрочем, что значит «решение» – всего лишь доказательство того, что эта задача не имеет точного решения. Именно в этой задаче и возникает число «пи»: 3,1415926… – отношение длины окружности к ее диаметру (часто используется соотношение 22/7).

105 триллионов с продолжением

Специалисты компании StorageReview сообщили, что им удалось рассчитать число «пи» до 105 трлн цифр после запятой. На сегодняшний день – это мировой рекорд. Статья исследователей называется «105 Trillion Pi Digits: The Journey to a New Pi Calculation Record».

Для вычислений использовали двухпроцессорную 128-ядерную систему AMD EPYC Bergamo. Она оснащена 1,5 ТБ DRAM. На процесс ушло 75 дней – расчеты начались 14 декабря 2023 года и завершились 27 февраля 2024 года.

Во время работы возникла проблема на последних этапах расчетов. Процесс останавливался, и программа не выдавала никакой информации о причинах сбоя. В работу пришлось включиться Александру Йи (о нем – немного подробнее дальше в тексте), создателю одной из ключевых программ, обеспечивавших компьютерный расчет. В StorageReview отметили, что «впервые за более чем 10 лет для завершения записи «пи» потребовалось прямое вмешательство разработчика». Йи выяснил, что возникала критическая ошибка с плавающей запятой, и устранил проблему.

Исследователи отмечают, что при вычислениях они были ограничены лишь объемом памяти, а не мощностью процессоров. По их мнению, благодаря развитию SSD-накопителей рекорд с 105 трлн цифр числа «пи» скорее всего продержится не очень долго.

Но, по-видимому, впереди математиков-компьютерщиков ожидает и традиционная проблема для подобного рода вычислений – проблема проверки истинности полученного с помощью компьютера доказательства. Известно, например, что даже самая обычная персоналка хранит в своей памяти и использует в работе в среднем от 150 тыс. до нескольких миллионов строк программного кода. Проблема истинности как бы перешла на другой уровень – «нормальные» математики проверяют компьютер.

Так, текст доказательства одной из современных математических теорем – 10 тыс. страниц («и это еще оптимистический вариант»); пессимисты говорят, что и 100 тыс. не хватит. Каковы должны быть процедуры проверки такого рода доказательств? В конце концов, кто будет финансировать эту проверку? Знаменитый математик Эндрю Уайлс, доказавший еще более знаменитую теорему Ферма, лет пять отвечал на вопросы экспертов после опубликования своего доказательства… Проверка точности записи десятичных знаков «пи», пожалуй, это будет еще посложнее.

Не является корнем квадратным

Дело в том, что десятичные знаки в записи числа «пи» никогда не заканчиваются и не повторяются и последовательность их неизвестна. Число «пи» трансцендентное. Кстати, с точки зрения древних греков, это приводило к любопытному парадоксу: если нельзя решить эту задачу точно, то нельзя и утверждать, что круг вообще имеет площадь. Эллины любили такие головоломки!..

Английский математик, профессор Иэн Стюарт в своей книге «Величайшие математические задачи» («The Great Mathematical Problems», 2013), поясняет: «В математике суще­ствует важное различие между числами, которые можно точно выразить при помощи дроби p/q, где p и q – це­лые числа, и числами, которые невозможно выразить таким образом. Первые называются рациональными (поскольку представляют собой отношение, то есть ratio, целых чисел), а последние – иррациональными. Так, приближенное значение «пи» (22/7) рационально. Суще­ствуют и более точные приближения; знаменитое 355/113 соответствует «пи» до шестого знака после запятой. Однако известно, что никакая дробь не может выразить «пи» точно; число «пи» иррационально. Это свойство, о котором математики давно догадывались, первым доказал швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году. В 1873 году Шарль Эрмит нашел более простое доказательство, основанное на аналити­ческих формулах, которое доказало иррациональность не только «пи», но и «пи» в квадрате. Так что «пи» помимо всего прочего не является корнем квадратным из какого-то рационального числа».

Вообще хронология идентификации числа «пи» крайне любопытна не только сама по себе, но и с точки зрения истории математики, развития ее методов.

Архимед установил, вычисляя отношение длины окружности к ее диаметру, что значение «пи» лежит в пределах между 3 (10/71) и 3 (1/7). То есть между 3,140 и 3,142.

Последний великий геометр античности, Аполлоний, точно установил четыре десятичных знака «пи» – 3,1415.

Есть основания считать, что в IV веке н.э. индийские математики пользовались значением числа «пи» 3,06 и 3,08.

В V веке н.э. индий­ский мыслитель и астроном Арьябхата в своей книге «Арьябхатья» дает для числа «пи» приближенное значе­ние 3,1416.

Голландец Адриан Антонис в конце XVI века определил шесть точных десятичных знаков «пи» – 3,141592... Он выражал их через соотношение 355/113.

В 1579 году выдающийся французский математик Франсуа Виет получил первые девять точных знаков «пи» после запятой.

Ничего удивительного, что в позднесредневековой Европе вычисление десятичных знаков «пи» и проблема квадратуры круга принимают характер мозговой эпидемии. Вот как об этом пишет румынская историк математики Флорика Кымпан: «В XVI и XVII веках очень выросло число лиц, утверждавших, что они нашли способ построения при помощи циркуля и линейки стороны квадрата с площадью, равной площади заданного круга.

Архимед установил, что значение числа «пи» лежит в пределах между 3,140 и 3,142.  Гравюра из книги: Figuier, Louis. Vies des Savants illustres depuis i’antiquite jusqu’au dix-neuvieme siecle. Paris: 1872.

Работы квадратуристов интересны тем, что они стали стимулом для математиков, заставляя их искать средства для определения природы этого числа, названного «пи». И если продолжить сравнение с эпидемией, читателя не должно удивлять, что у многих из тех, кто искал лекарств от этой очень вирулентной бо­лезни, начали появляться тревожные симптомы забо­левания» (Ф. Кымпан, «История числа «пи». М.,1971).

В этом отрывке надо обратить внимание на уточнение: «с помощью циркуля и линейки». Голландский механик, физик, математик, астроном Христиан Гюйгенс, например, утверждал, что только после познания природы числа «пи» математики сумеют сказать, возможна ли квадратура круга при помощи циркуля и линейки.

Еще один голландский вычислитель-квадратурист Лудольф ван Кёллен в 1596 году опубликовал 20 точных десятичных знаков числа «пи». Интересно, что для этого он использовал метод вписанных в круг многоугольников. Лудольф смог аналитически «вписать» многоугольник с 32 млрд 512 млн граней! Установленное им число «пи» долго называлось «числом Лудольфа»…

Английский бухгалтер Аврам Шарп в конце XVII века получает 72 точных десятичных знака числа «пи». Заметим, что на эти вычисления уходили месяцы и годы. Рекорд принадлежал великому математику Леонарду Эйлеру: он проверил последовательность 128 знаков после запятой, полученную Томом Ланьи (1660–1734), всего за 80 часов и обнаружил ошибку в 113-м знаке – не «7», а «8».

Прощание с квадратурой круга

В 1775 году Парижская академия наук приняла решение больше не принимать к рассмотрению меморандумов с «решением» проблемы квадратуры круга. Академик, философ и энциклопедист Николя Кондорсе, объявляя это решение, произнес очень эмоциональную речь, накипело, что называется: «Многие , к их несчастью, уверены, что это им удалось, и не хотят верить геометрам, критикующим их реше­ния; часто они даже не в состоянии понять геометров и кончают тем, что обвиняют их в зависти или в злонамеренности. Иногда упрямство этих людей превращается в настоящее сумасшествие; иначе не назовешь это отношение, влияющее на образ их жизни и ведущее к нарушению общественного порядка. Сумасбродство квадратуристов не только вредит им лично, заставляя их напрасно тратить время, которое они могли бы использовать на благо своих семей. К несчастью, такое сумасшествие редко ограничивается одним этим объектом; от последнего исходит зараза, которая широко распространяется... К тому же эти люди, пора­жаясь тому, что им без образования удалось дойти до истины, которую безуспешно искали знаменитейшие люди, начинают верить, что на них снизошла благодать».

Диагноз, поставленный Кондорсе квадратуристам, остается актуальным и в наши дни: ферматисты, изобретатели вечного двигателя, опровергатели Ньютона и/или Эйнштейна, «энергетисты» всех видов – все они почти исчерпывающе точно описаны французским академиком еще в XVIII веке.

К XIX веку задача вычисления все большего количества десятичных знаков окончательно вытесняет проблему нахождения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. (Впрочем, буйное племя квадратуристов существует до сих пор, хотя и сильно поредевшее!) Но вычисление десятичных знаков «пи» становится своеобразным полигоном для выявления и отработки новых математических методов и целых направлений математики.

1841 год. Уильям Резерфорд сообщает 208 десятичных знаков, а через три года гамбургский вычислитель Иоганн Дазе показал, что Резерфорд ошибся начиная со 152-го десятичного знака, и после двух месяцев вычислений обнародовал 200 точных десятичных зна­ков «пи».

1847 год. Томас Клаузен из Дерпта (ныне г. Тарту) доводит число цифр до 250, из которых 248 были точны.

1853 год. Тот же Дазе получает 440 точных цифр. Но рекорд в том году установил британский математик Уильям Шенкс – 607 десятичных знаков…

«Пи» в двоичной системе

Необыкновенные приключения происходят с числом «пи», если попытаться выразить его в уже привычной нам двоичной системе исчисления: «0» и «1».

Джон фон Нейман в 1949 году на одной из первых ЭВМ ENIAC вычислил «пи» с точностью до 2037 знака.

В 1958 году были опубликованы первые 10 000 десятичных знаков числа «пи» – Ф. Женюи с помощью компьютера IBM 704. На вычисление первых 3000 десятичных знаков ма­шина затратила всего 10 минут.

В 1961 году Дэниэл Шенкс и Джон Ренч на компьютере IBM 7090 вычислили «пи» с точностью до 100 625 десятичных знаков; машина работала 8 ч 1 мин и, кроме того, 42 мин занял перевод результата из двоичной формы в десятичную.

Новая «высота» взята в 1973 году – миллион десятичных знаков: Ж. Гийу и М. Буйе, на компьютере CDC-7600 (работа заняла меньше одного дня).

В 1997 году французский программист Фабрис Беллар нашел, что триллионная цифра числа «пи» в двоичном выражении – «1». А в 2003 году профессор Ясумасе Канада из Токийского университета более 400 часов гонял суперкомпьютер HITACHI, чтобы добраться до триллионного знака «пи» после запятой. Как отмечает английский физик Саймон Сингх, автор книги «Великая теорема Ферма», если Канада с коллегами «вознамерится продолжить свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удалось бы найти точное значение числа «пи». Но это, собственно, не очень-то и нужно, ведь, например, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа «пи»…» Напомним, радиус атома водорода – это 0,53 х 10–8 см.

Но в 2010 году Николас Ши рассчитал двухквадрильонную двоичную цифру «пи» – ею оказался «0».

В 2011 году американец Александр Йи и японец Шигеру Кондо обнародовали запись числа «пи» до 10 трлн знаков после запятой. Предыдущий рекорд по вычислению знаков «пи» после запятой – 5 трлн – также принадлежал им. Для работы использовался специально созданный для вычисления фундаментальной константы компьютер, который работал 371 день.

Может возникнуть вопрос, какая польза от установле­ния такого количества десятичных знаков «пи», тем более что для вычисления, например, траектории космичес­кой ракеты, удалившейся на любое расстояние от Земли, не понадобится и 50 десятичных знаков этого числа. Мало того, для вычисления длины окружности, радиус которой равнялся бы расстоянию от Земли до самой отдаленной туманности, с погрешностью меньше 1 мм, достаточно первых 40 десятичных знаков числа «пи»…

Другими словами, вычисление «пи» больше чем до тысячного десятичного знака мало что дает для математики и прикладных дисциплин. Но, по мнению исследователей, это помогает поднимать вычислительную технику до нового уровня и проверять точность суперкомпьютеров.

Кстати, в марте 2011 года американский музыкант Майкл Блейк положил число «пи» на музыку. Для этого он взял 31 цифру после запятой, поставил каждой цифре в соответствие ноту (так как нот 7, а цифр 10, то ему пришлось «забраться» в соседнюю октаву). Используя квинтовый круг, он поставил цифрам в соответствие аккорды. Затем, используя полученные данные, он аранжировал мелодию в темпе 157 ударов в минуту (то есть 314, поделенное на два).

И все же не случайно древнегреческий математик Пифагор называл иррациональные числа «математическими зверями». Но число «пи» – это не только иррациональное и трансцендентное число и «математический зверь» в пифагоровом смысле. С загадочным постоянством оно «вылезает» в самых неожиданных местах. Например, отношение истинной длины реки от истока до устья к расстоянию от ее истоков до устья по прямой примерно равно… Правильно – 3,14. Причем это соотношение чаще всего встречается у рек, текущих по равнинам с небольшим уклоном. Например, оно характерно для рек Бразилии и Сибири.

Оно, «пи», с удивительным постоянством возникает при расчете плотности потока излучения от точечного источника, при оценке квантовых состояний атома, при вычислении параметров гармонических колебаний… Пожалуй, легче перечислить те области, в которых – вроде бы! – удается увернуться от вездесущего «пи». Недаром Ф. Дэвис и Р. Херш отмечали: «Математик уверен, что как само число «пи», так и его двоичная запись суть органические компоненты мирового порядка».

Десятичное разложение числа «пи» – это очень полезное занятие, например, в приложении к криптографии, в разработке новых вычислительных алгоритмов, при совершенствовании вычислительного «железа». И это не просто стандартная отговорка ученых, пытающихся «выбить» очередные гранты на вычисление того, что можно назвать бесконечность… Тут, возможно, поможет аналогия с другой областью знания – биологией. Число уникальных белков на Земле – 1015; число атомов во Вселенной – 1079; возможное число белков (длина = 100) – 10 130; возможное число белков (длина = 500) – 10 650. Жизнь на Земле проявила менее 1% всех возможных белковых сочетаний. Есть что считать…

Но, возможно, и это не самое важное. А самое важное – это мировоззренческое значение числа «пи». Математик Петр Маковецкий очень хорошо сказал по этому поводу: «Число «пи» – один из главных признаков нашей цивилизации и нам подобных. Это пароль разума, подобного нашему. Цивилизация, не знающая «пи», не имеет математики и радиотехники. Она не может сегодня вступить с нами в контакт, да с нею пока что нам, видимо, и не о чем говорить»…

Итак, вот как на сегодня выглядят последние 100 цифр числа «пи» в 105-триллионной записи (по возрастающей): 4293024235 1414406068 5320694507 8487761716 2444728500 1432360875 9463978314 2999186657 8364664840 8558373926. Это хорошая основа для переговоров с инопланетными цивилизациями. Если выписать все знаки этого числа «пи», то это составит 3,7 млрд км, или расстояние от Земли до Урана.