Как математика помогает политикам и избирателям на выборах

Фото Андрея Никеричева / Агентство «Москва»

Математические исследования итогов голосования часто вызывают нездоровую реакцию в некоторых политических кругах. В связи с этим хочется подробнее рассказать о таких исследованиях.

Применение математики в политологии имеет не очень давнюю историю. Поэтому часто пионерами в этом деле становятся представители тех наук, где уже накоплен положительный опыт использования математических методов. В первую очередь физики, но нередко и биологи, поскольку у биологических и социальных наук много общего – и там, и здесь закономерности обычно имеют статистическую природу. Так, одним из лидеров в области политологии стал американец – физик Рейн Таагепера, успешно применивший математические методы для анализа политических процессов.

В России одной из главных математических проблем политологии стали выявление и оценка уровня фальсификаций на выборах. Пионерами оказались физик из Москвы Александр Собянин и специалист по математическому моделированию биологических процессов из Красноярска Владислав Суховольский. Их книга 1995 года «Демократия, ограниченная фальсификациями» стала первой важной вехой. Увы, первый вскоре умер, а второй – исследования дальше не развивал.

После избрания Госдумы в декабре 2007 года для большой группы исследователей выборов было ясно, что эта кампания сопровождалась крупными фальсификациями. Сигналы о них поступали отовсюду, но не было методов, позволявших оценить их масштаб. И вдруг в январе 2008 года мы узнаем: некий блогер создал новый метод и вычислил, что фальсификации составили около 14 млн голосов. Признаюсь честно, первой реакцией было: не может быть.

Блогером оказался физик Сергей Шпилькин, в то время работавший переводчиком в одной из фирм. Ряд специалистов, разбирающихся одновременно в выборах и в математике, выслушали Шпилькина – и стало понятно, что его метод достаточно адекватный. После этого он выступил на конференции, посвященной итогам президентских выборов марта 2008 года. Несколько лет спустя Шпилькин обнаружил, что тот же подход был использован одним американским дипломатом для выявления фальсификаций на выборах 2004 года в Армении. Но та работа была опубликована лишь для узкого круга, так что метод заслуженно носит имя Шпилькина.

Меня метод Шпилькина сразу пленил одной важнейшей особенностью. Он содержит в себе внутренний контроль, то есть позволяет сразу увидеть, можно его применять или нет. Отметим, что метод Шпилькина, как и Собянина–Суховольского, основан на предположении, что если где-то явка низкая, а где-то – высокая, то соотношение голосов от этого не должно меняться (речь о вариациях именно в пространстве, а не во времени, но критики метода этот нюанс часто не замечают).

Сама по себе эта гипотеза не очевидна, многие с ней не согласны. Но графики, которые строятся по методу Шпилькина, обычно показывают, что она верна. Кроме тех особых случаев, когда можно подозревать фальсификации. Графики – это зависимость голосов от явки. И на них видно, что кривые для разных кандидатов подобны: при умножении на соответствующий коэффициент они совпадут друг с другом. Там, где нет фальсификаций, данное правило касается всех кандидатов.

Аномальные случаи – это когда кривая, соответствующая голосам за лидера, отличается по форме от остальных кривых. Но опять-таки не везде: в области низких значений явки отличий нет. А в области высоких значений явки форма кривой другая. Причем часто на ней видны «зубчики» – это признак подгонки под круглые значения.

Метод вычисления аномальных голосов оказывается достаточно простым. Кривая, описывающая сумму голосов за остальных кандидатов, умножается на коэффициент, позволяющий совместить восходящую часть этой новой кривой с восходящей частью кривой лидера. В случае аномалии нисходящая часть кривой лидера окажется выше этой новой кривой. Площадь между кривыми и даст число аномальных голосов.

За 12 прошедших лет метод Шпилькина неоднократно подвергался критике, но в основном публицистической, а не научной. Единственной публикацией, претендовавшей на некоторую серьезность, была статья 2008 года, подписанная тогдашним председателем ЦИКа Владимиром Чуровым, членом-корреспондентом РАН Владимиром Арлазаровым (специалистом в области баз данных, а не математической статистики) и его сотрудником. Статья была опубликована в каком-то сборнике: в рецензируемом журнале ее бы просто не приняли, поскольку в ней не был охарактеризован объект исследования. При этом приведенные в статье результаты не опровергали, а скорее подтверждали результаты Шпилькина.

В 2008 году Андрей Бузин и автор этих строк выпустили книгу «Преступление без наказания». В этой книге был собран богатый материал о различных нарушениях на федеральных выборах 2007–2008 годов, в том числе и о прямых фальсификациях. И в заключительной главе приведены результаты применения различных методов, в том числе Собянина–Суховольского и Шпилькина. Получилось достаточно красноречиво: результаты, полученные разными методами, совпали, а расчеты вполне соответствовали итогам наблюдения на участках.

Против книги был выпущен целый залп публикаций, но они быстро забылись, а книга живет и хорошо цитируется. После того как в 2009 году произошли масштабные фальсификации на выборах в Мосгордуму, интерес к методу Шпилькина возрос. Но главное – метод прошел апробацию практикой. В тех случаях, когда наблюдение на участках говорило об отсутствии масштабных фальсификаций, расчеты по методу Шпилькина также показывали их отсутствие. Примером являются выборы в Москве с 2012 по 2019 год, в ряде уральских и сибирских регионов. Когда же мы получаем от наблюдателей, членов избиркомов, просто избирателей массовые сообщения о фальсификациях, метод Шпилькина дает довольно высокие проценты аномальных голосов. Показал метод и снижение общего объема фальсификаций на федеральных выборах 2012–2018 годов по сравнению с периодом 2007–2011 годов, хотя этот объем все равно оставался довольно большим (9–12 млн против 14–15 млн).

Но вот на общероссийском голосовании 25 июня – 1 июля 2020 года масштаб аномальных голосов вырос, достигнув 22 млн. И эти расчеты соответствуют наблюдениям. Этому способствовали и «облегченные» правила голосования, и их вольное применение: растягивание плебисцита на семь дней, большой объем голосования в скверах и на предприятиях, перекладывание бюллетеней из ящиков в сейф-пакеты. Плюс сильная заинтересованность вертикали власти в результатах голосования.

Однако расчеты Шпилькина показывают и другое. Даже при вычете аномальных голосов получается, что большинство от принявших участие в голосовании сказало «да». Пусть и не 78%, но 65%. Явка получается всего 42%, но правила проведения общероссийского голосования ее порога и не предусматривали. Эти 65% от числа проголосовавших, или 27% от списочного числа, мы тоже не можем считать результатом свободного волеизъявления. Уже по иным причинам: из-за некорректно сформулированного вопроса и неравных условий агитации. И теперь важно, чтобы опыт манипулирования и фальсификаций не был перенесен на выборы. Мы уже видим большое желание применить все те новации прошедшего голосования, которые способствовали фальсификациям.