Гаусс мне друг, но…

Результатом анализа множества исследований, опубликованных в СМИ и блогах по результатам предыдущих выборов, является вывод о том, что хоть и не все, но большинство популярных мнений о статистических свидетельствах фальсификаций являются либо грубыми математическими и логическими ошибками, либо чьими-то спланированными манипуляциями. Взамен этих ошибочных предлагается несколько других, гораздо более корректных и научно обоснованных методов оценки степени достоверности результатов выборов.

Обнаружение удивительных на первый взгляд явлений вовсе не означает присутствия «разумного замысла». Те, кто, увидев любой необычный статистический график, тут же начинают кричать о подтасовках и фальсификациях, напоминают древних мудрецов, которые при виде яркой молнии заявляли, что это Зевс-громовержец гневается, не иначе.

Многочисленные блогеры-шаманы манипулируют сознанием людей, показывая красивые графики и распределения, восклицая при этом о несомненном воздействии богов Олимпа, приведшем к столь чудесным картинкам. Но эти борцы за справедливость часто допускают грубейшие логические и математические ошибки, которые не только ставят под сомнение общие выводы, но и сильно дискредитируют само (совершенно правильное по сути!) движение «за честные и справедливые выборы».

Поэтому давайте внимательно и заранее, еще до объявления результатов президентских выборов – 2012, разберемся, какие статистические эффекты в результатах голосований действительно являются свидетельством «вмешательства сверху», а какие объяснимы без привлечения потусторонней силы.

Самое распространенное заблуждение: график распределения по участкам процентов голосов за партию (либо явки) обязан иметь ровную симметричную форму «колокола» («распределение Гаусса»).

Шаманы говорят: «Cмотри, народ, в любых случайных процессах наблюдается Гаусс! Хочешь пульки в мишень стреляй, хочешь одноклассников по росту измеряй – везде Гаусс! Одно только распределение голосов за «Единую Россию» да явка на выборы в ГосДуму – горбатые монстры с диавольским хвостом!»

Но дело в том, что люди – не пульки, и голосуют они не случайным образом, и голоса их по избирательным участкам распределены ну никак не независимо.

Если бы людей приписывали к случайно выбранным участкам – тогда да, был бы четкий гаусс. Но раз участки выбираются не случайно, а по территориальному признаку, то распределение обязано зависеть от географических неоднородностей предпочтений электората. В заводском поселке одно распределение, в воинской части – другое, в фешенебельном центре города – третье. В северной области – одно, в южной республике – другое. В разных местах люди живут по-разному и поэтому по-разному относятся к правящей партии. Причем особые отклонения от гаусса будут именно для правящей партии, так как о ней люди судят по реальным делам, и дела эти везде, к сожалению, разные. А о не-правящих партиях люди судят в основном по информации из СМИ, а та в наш век вполне однородна – и бабуля в деревне, и мажор в пентхаусе смотрят в принципе один и тот же телевизор.

При этом чем больше неоднородность страны, тем больше шансов, что итоговая кривая будет иметь «неправильную» форму. А в условиях кризиса, который по-разному сказался на различных группах населения, рост поляризации мнений еще более вероятен.

Совсем упорным последователям религии Всемогущего Гаусса можно предложить взглянуть на аналогичные графики результатов голосований в других странах. В первую очередь тех, демократичность которых у нас особых сомнений не вызывает.

Вот график для парламентских выборов в Великобритании (2010).

На нем видно, что только для одной партии (ее график «возвышается» над всеми остальными) график хоть как-то похож на гаусса, но и то с довольно толстым хвостом справа. У двух остальных партий – совсем не гауссовые многогорбые чудища.

Выборы в парламент Великобритании, в Бундестаг Германии, праймериз в США, а также выборы в Польше и Израиле – все графики показывают распределения, очень далекие от гаусса.

В порыве страстного желания обвинить власть во всех возможных грехах наши борцы за справедливость, мягко говоря, переборщили – множество статистических «аномалий», которые послужили основанием для самых грязных обвинений и радикальных лозунгов, в действительности совершенно корректны.

Сопутствующее гауссу заблуждение: на графике распределения голосов острый пик ровно на 50% свидетельствует о подтасовке с целью перевалить за заветное число в 50%.

Это хоть и нетривиальный, но объяснимый математический эффект. Связан он с тем, что процент голосов – не простая случайная величина, а частное от деления двух ЦЕЛЫХ чисел – количества голосов за партию и общего числа избирателей. А среди всевозможных дробей N/M число 1/2 встречается гораздо чаще остальных. Поэтому на любом распределении процентов голосов будет очень узкий, но при достаточно мелком шаге гистограммы все же видимый пик строго на 50%. Этот же эффект полностью или частично объясняет и пики на некоторых других круглых числах.

Еще одно распространенное заблуждение: корреляция между явкой на избирательных участках и процентом голосов за правящую партию свидетельствует о вбросе бюллетеней с «нужными» голосами.

Наличие корреляции между величинами А и Б вовсе не означает наличия прямой причинно-следственной связи между ними.

Результаты выборов в парламент Великобритании 2010 года показывают еще более сильную зависимость между явкой и процентом голосов за разные партии. У этой зависимости может быть множество совершенно естественных причин.

Для российских реалий эти причины несложно понять. В сознании законопослушных постсоветских граждан тесно связаны действия «прийти на выборы» и «проголосовать за действующую власть». Долгие годы однопартийной системы приучили людей к тому, что «сходить проголосовать» и «сходить проголосовать за власть» – синонимы. А правящая партия стойко ассоциируется с властью вообще. Обычно за оппозиционную партию голосуют только те, кто твердо уверен в необходимости голосовать именно за нее. А за правящую партию голосуют в том числе и те, кто просто считает нужным «проголосовать», хотя и не особо-то разбирается в политике – просто так положено.

Где все-таки искать гаусс

Выше мы подробно обсудили, что реальное распределение вовсе не обязано быть гауссом из-за географической неоднородности отношения к кандидату. Однако центральную предельную теорему все-таки никто не отменял, и на участках, где все более или менее однородно, должен быть гаусс (но только на отдельных участках!).

Таким образом, итоговый результат сложения всех этих участков будет суммой нескольких гауссовых «колоколов» – этакой многогорбой кривой. Однако гауссы – ровные и в середине распределения обычно довольно широкие. Поэтому получить путем их сложения отвесную вертикальную стенку естественным путем крайне сложно. Те же рассуждения приводят нас к выводу о ненатуральности острых, направленных вверх пиков с вогнутыми вниз склонами (гауссы вблизи вершины выгнуты вверх!), особенно когда эти пики многочисленны и расположены вблизи круглых значений процентов.

Другие методы исследований

Существуют и куда более интересные методы проверки достоверности статистических данных. Дело в том, что «рукописные», сочиненные человеком числа с точки зрения самих цифр, которыми записываются эти числа, отличаются от естественных. Причем эти закономерности противоречат нашему «бытовому» здравому смыслу, поэтому вручную их очень сложно сымитировать при фальсификации.

Цифр, как известно, 10. Из них первой цифрой числа может быть только 9 (все, кроме нуля). Поэтому, казалось бы, вероятность появления единицы среди первых цифр в колонке чисел должна быть 1/9 = 11%. Однако на самом деле вероятность того, что первой цифрой окажется единица, гораздо больше – 30%! Этот удивительный факт установил в 1938 году физик Фрэнк Бенфорд. С тех пор закон Бенфорда не только успешно помогает в выявлении подлогов бухгалтерских отчетов, но и даже обосновал подозрения в фальсификации выборов в Иране (2009).